算数いろいろ　孫子算経

　律令時代からの算術の教科書「孫子算経」から２題　

　「？」

　今有孕婦行年二十九。難九月、未知所生。
　答曰、生男。
　術曰、置四十九、加難月、減行年。所餘、以天除一、地除二、人除三、四時除四、
　五行除五、六律除六、七星除七、八風除八、九州除九。其不盡者、竒則爲男、耦則爲女。

　今２９歳の妊婦がいて、妊娠して苦しむこと９か月になる。まだ生まれる子の性別は分からない。
　答　男が生まれる。
　解法
　４９を置き、苦しむ月９を加え、行年の２９を引く。
　その余り２９から、天の１を引き、地の２を引き、人の３を引き、四時の４を引き、五行の５を引き、六律の６を引き、七星の７を引き、八風の８を引き、九州(中国全域の古称)の９を引く。
　その余りが奇数ならば（生まれる子は）男とし、偶数ならば女とする。

　中国の数には男と女の区別がありました。奇数は男、偶数は女でした。
　(４９＋９－２９)－１－２－３－４－５－６－７＝１　ここまでしか引けません。余りが１になったので男ということのようです。

　男が生まれるか女が生まれるかを算術で占っています。
　古代、「数が使える者」＝「呪術・占星を行うもの」だったということでしょうか。

　次は高校数学の「剰余定理」です。

　今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。
　問、物幾何
　答曰、二十三。
　術曰、『三・三数之、剰二』、置一百四十。『五・五数之、剰三』、置六十三。『七・七数之、剰二』、置三十。并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。一百六以上、以一百五減之、即得。

　今物が有るが、その数はわからない。３つずつにして物を数えると、２余る。５で割ると、３余る。７で割ると、２余る。物はいくつあるか？
　答　二十三。
　解法
　３で割ると、２余る数として、１４０と置く。
　５で割ると、３余る数として、６３と置く。７で割ると、２余る数として、３０と置く。
　これらを足し合わせて、２３３を得る。これから２１０を引いて、答えを得る。
　一般に、３つずつにして物を数え、１余ると、その度に７０と置く。
　５で割った余りに２１をかける。
　７で割った余りに１５をかける。
　１０６以上ならば、１０５を引くことで、答えを得る。

　＊２１０を引くというのは　３×５×７＝１０５　２３３からこの１０５を１回引いて１２８、また１０５を引いて２３が最小の答えということでです。

　aは５でも７でも割り切れるが、３で割ると２余る数、
　bは３でも７でも割り切れるが、５で割ると３余る数、
　cは３でも５でも割り切れるが、７で割ると２余る数とします。

　上の解法の１４０がaに当たり、６３がbに当たり、３０がcに当たります。

　aの場合、１４０を素因数分解すると５×７×２２です。５×７が入っているので、５でも７でも割り切れます。

　ここでM=a+b+c という数字を作ってみますと、Mを３で割ると２余り、５で割ると３余り、７で割ると２余ります。従って１４０＋６３＋３０＝２３３は確かに条件を満たす数ですが、そのような数は１０５おきに無限に存在するということを述べているのが、中国式剰余定理です。

　ガウスが考案した合同式を使うと次のようになります。

　合同式とは１３７≡５≡２(mod 3)　１３７と５と２は３で割ると余りが同じになる。というふうに使います。

x ≡ ２ (mod ３)　←xは３で割ると２余る

x ≡ ３ (mod ５)　←xは５で割ると３余る

x ≡ ２ (mod ７)　←xは７で割ると２余る

を同時に満たす整数 x を求める。まず、1番目の式より x = ３m₁ + ２ (m₁ ∈ Z) と表せる。(Zは整数全体の集合)これを２番目の式に代入し

３m₁ +２ ≡ ３ (mod ５)