算数いろいろ 孫子算経

2021年9月26日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — コメントを残す

算数いろいろ　孫子算経

　律令時代からの算術の教科書「孫子算経」から２題　

　「？」

　今有孕婦行年二十九。難九月、未知所生。
　答曰、生男。
　術曰、置四十九、加難月、減行年。所餘、以天除一、地除二、人除三、四時除四、
　五行除五、六律除六、七星除七、八風除八、九州除九。其不盡者、竒則爲男、耦則爲女。

　今２９歳の妊婦がいて、妊娠して苦しむこと９か月になる。まだ生まれる子の性別は分からない。
　答　男が生まれる。
　解法
　４９を置き、苦しむ月９を加え、行年の２９を引く。
　その余り２９から、天の１を引き、地の２を引き、人の３を引き、四時の４を引き、五行の５を引き、六律の６を引き、七星の７を引き、八風の８を引き、九州(中国全域の古称)の９を引く。
　その余りが奇数ならば（生まれる子は）男とし、偶数ならば女とする。

　中国の数には男と女の区別がありました。奇数は男、偶数は女でした。
　(４９＋９－２９)－１－２－３－４－５－６－７＝１　ここまでしか引けません。余りが１になったので男ということのようです。

　男が生まれるか女が生まれるかを算術で占っています。
　古代、「数が使える者」＝「呪術・占星を行うもの」だったということでしょうか。

　次は高校数学の「剰余定理」です。

　今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。
　問、物幾何
　答曰、二十三。
　術曰、『三・三数之、剰二』、置一百四十。『五・五数之、剰三』、置六十三。『七・七数之、剰二』、置三十。并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。一百六以上、以一百五減之、即得。

　今物が有るが、その数はわからない。３つずつにして物を数えると、２余る。５で割ると、３余る。７で割ると、２余る。物はいくつあるか？
　答　二十三。
　解法
　３で割ると、２余る数として、１４０と置く。
　５で割ると、３余る数として、６３と置く。７で割ると、２余る数として、３０と置く。
　これらを足し合わせて、２３３を得る。これから２１０を引いて、答えを得る。
　一般に、３つずつにして物を数え、１余ると、その度に７０と置く。
　５で割った余りに２１をかける。
　７で割った余りに１５をかける。
　１０６以上ならば、１０５を引くことで、答えを得る。

　＊２１０を引くというのは　３×５×７＝１０５　２３３からこの１０５を１回引いて１２８、また１０５を引いて２３が最小の答えということでです。

　aは５でも７でも割り切れるが、３で割ると２余る数、
　bは３でも７でも割り切れるが、５で割ると３余る数、
　cは３でも５でも割り切れるが、７で割ると２余る数とします。

　上の解法の１４０がaに当たり、６３がbに当たり、３０がcに当たります。

　aの場合、１４０を素因数分解すると５×７×２２です。５×７が入っているので、５でも７でも割り切れます。

　ここでM=a+b+c という数字を作ってみますと、Mを３で割ると２余り、５で割ると３余り、７で割ると２余ります。従って１４０＋６３＋３０＝２３３は確かに条件を満たす数ですが、そのような数は１０５おきに無限に存在するということを述べているのが、中国式剰余定理です。

　ガウスが考案した合同式を使うと次のようになります。

　合同式とは１３７≡５≡２(mod 3)　１３７と５と２は３で割ると余りが同じになる。というふうに使います。

x ≡ ２ (mod ３)　←xは３で割ると２余る

x ≡ ３ (mod ５)　←xは５で割ると３余る

x ≡ ２ (mod ７)　←xは７で割ると２余る

を同時に満たす整数 x を求める。まず、1番目の式より x = ３m₁ + ２ (m₁ ∈ Z) と表せる。(Zは整数全体の集合)これを２番目の式に代入し

３m₁ +２ ≡ ３ (mod ５)

両辺から２を引くと、

３m₁ ≡ １ (mod ５)

この式の両辺に２をかけると、（左辺）= ６m₁ = ５m₁ + m₁ ≡ m₁ (mod ５)

（右辺）= ２ (mod ５)なので

m₁ ≡ ２ (mod ５)　となる

　したがって、m₁ = 5m₂ + 2 (m₂ ∈ Z) と表せ、これにより x = １５m₂ + ８を得る。更にこれを連立合同式の３番目の式に代入すると、

１５m₂ + ８ ≡ ２ (mod ７)となる。

この式の両辺から８を引き、左辺＝１５m₂ = １４m₂ + m₂ ≡ m₂ (mod ７)

右辺＝－６(mod ７)なので

m₂ ≡ −６ (mod ７).

更にこれは、−６ ≡ １ (mod ７) より

m₂ ≡ １ (mod ７)

と書き直せるので、m₂ = ７m₃ + １ (m₃ ∈ Z) と表せ、これにより x = １０５m₃ + ２３を得る。すなわち、

x ≡ ２３ (mod １０５)となり２３が答えになります。

ユークリッドの互除法を使って解くこともできます。高校生はぜひ解いてみてください。

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2021年9月26日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — コメントを残す

算数いろいろ　律令と算術の教科書

　「養老律令」の「田令」という法律について書きました。この法律を実行するためには農作物の収穫量、戸籍、土地の面積などを記録し計算するために種々の算法が必要になります。

　6世紀以降はそれまでの不確かな時代と違って文献などで明らかになった史実が多く、例えば538年に百済の聖明王から仏典と仏像が送られたということが分かっています。これが仏教伝来の年とされていますが、6世紀以前の九州と朝鮮半島の交流は想像以上に盛んであったと思われるので、すでに仏教やその他の文化は日本に(特に豊前の国に)伝わっていたと考えられます。

　この正史に現れない文化や学問の流入が律令国家の礎を作っていたので、701年に大宝律令が発布できたのだと思います。

　この時代の役人には学問が必要です。ですから養老令では教育制度について決められました。その中に算術についても決められていました。

　このころの教科書は中国の漢の時代に作られた「九章算術」などの書物が使われました。弥生時代の終わりくらいには「数」とともに「算術」も大陸からの渡来人によって伝わっていたのではないでしょうか。

　九章算術の内容は次のようなものです。

　(1)方田：いろいろな形の田の面積の求め方。

　(2)粟ぞく米べい：穀物の計算。交換率の計算。

　(3)衰分さぶん：税金の配分計算

　(4)小広：平方根　立方根。二次式、三次式の解法。

　(5)商功：土木工事に関する問題。

　(6)均輸：人口統計、物価計算。比例　反比例。

　(7)盈えい不足ふそく：過不足算。(盈とはいっぱいになるという意味)

　(8)方程：多元連立方程式。

　(9)勾こう股こ：三角法、測量。三平方の定理から始まる。

　この内容を見ると、現在の小学生から高校生までの算数や数学の内容と変わらない内容を学んでいたようです。但し、法則などという学問的なことよりも実用的な内容です。

実際の問題をいくつかあげてみます。

　「孫子算経」という書物からまず「鶴亀算」です。

鶴亀算(雉と兎)
今有雉兎同籠、上有三十五頭、下有九十四足、問雉兎各幾何
答曰　雉二十三　兎一十二
術曰上置頭下置足、半其足以頭除足、以足

雉と兎が同じ籠の中にいる。頭の数は３５である。足の数は９４である。雉と兎はそれぞれ何匹いるか
答　雉２３　兎１２
解法　頭の数と足の数をそれぞれ算盤の上と下に置く
足の数を半分にし、その数から頭の数を引く(→兎の数）
頭の数から兎の数を引く(→雉の数）

最小公倍数
今有三女、長女五日一歸、中女四日一歸、少女三日一歸。
問、三女幾何日相會。
答曰、六十日。
術曰、置長女五日・中女四日・少女三日、於右方。各列一算於左方。維乘之、各得所到數。長女十二到、中女十五到、少女二十到。又各以歸　日乘到數、即得。

娘が３人いて仕事に出ている。長女は５日に１回帰り、中女は４日に１回帰り、少女は３日に１回帰る。
問　３人は何日ごとに会うか。
答　60日
解法　長女５日・中女４日・少女３日を右側に置く。各々の一算を左側に並べる。これらを維乗すれば、各々の到数、長女12到、中女15到、少女20到が得られる。また各々の帰る日を到数に掛ければ、答が得られる。

左	右
１	５
１	４
１	３

左	右
１×４×３	５
１×５×３	４
１×５×４	３

左	右
１２	５
１５	４
２０	３

　この問題は5，4，3が互いに素なのでこの方法で答えがでますが、そうでない場合は間違った答えが出ます。

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2021年8月21日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — コメントを残す

算数いろいろ　律令と口分田

↑万葉集西本願寺　貧窮問答歌(山上憶良)

　大宝律令は701年に制定された日本の法律です。

　律は刑法、令はそれ以外の法律のことです。大宝律令は日本で初めて律と令がそろった法律です。これ以前にも「近江令」や「飛鳥(あすか)浄(きよ)御原令(みはらりょう)」という法律がありましたが、中央集権国家の国造りの集大成としてこの「大宝律令」が制定されました。その後改正されて「養老律令」が制定されるのが757年です。この「養老律令」はほとんど形ばかりのものになりますが、実際は明治維新まで廃止されることなく存続しました。

　この「養老律令」には田令という法律があり、口分田についての決まりがあります。

　口分田といえば646年の「班田収授法(はんでんしゅうじゅほう)」を浮かべる人も多いと思いますが、本格的に成立したのは「飛鳥浄御原令」からです。口分田をきちんと民に配分するには、きちんとした戸籍が必要だったので、法律ができてから戸籍を作るまでに時間がかかったわけです。6年に1度戸籍調査が行われ（今でいう国勢調査）、それによって班田収授が行われました。

　養老律令の田令では次のように決められています。

・良民男子は2段、良民女子は男の3分の2、5歳以下には支給しない。

・家人・私有の奴婢は良民男女の3分の1　＊奴は男の召使、婢は女の召使

・兵士に取られた男分は無税になるので計算に加えない

　さて、この「段」とはどれくらいの広さでしょう。現在では「反」と書いていますが、土地の面積の単位です。

1歩(ぶ)（坪）＝3.305㎡＝畳2畳分の広さ

1段(たん)（反）＝太閤検地までは360歩＝1,188㎡／太閤検地後は300歩＝992㎡

　古代では米1石(こく)の収穫があげられる田の面積を1段としていました。米1石とはだいたい大人一人の1年間分のお米の量でした。1升ビン100本分です。重さでいうと150㎏です。

　太閤検地で1段の広さが360歩から300歩に変わったのは、コメの収穫量が上がったので、300歩でも１石の収穫を上げることができるようになったからという説と、年貢の増収のためともいわれています。

　話を戻しますが、良民は2年分のお米がとれる田を与えられ、私有の召使は半年分くらいのお米がとれる田を与えられたということになります。収穫は土地によって違ったでしょうし、天候にも左右されますが、古代の法律も、定義された算出方法を使って成り立っていたということですね。

　ちなみに長浜市には「口分田町」、東京には「五反田」、嘉麻市には「一丁五反」という地名があります。

　日本史の問題をひとつ　１段＝360歩として計算します。

A　戸主39歳
B　戸主の父65歳
C　戸主の母64歳
D　戸主の妻37歳
E　長男17歳
F　長女15歳
G　次男10歳
H　次女5歳

【1】この戸の口分田の合計は何段？

【2】この戸の租の総額は？
（１束＝10把／租は田１段（公定収穫量72束）につき２束２把とします）＊租（田租）は田の面積に応じて課される土地税のこと

【3】この戸の庸の総額(麻布二丈6尺)歳役の総日数

【4】この戸の調の総額(麻布二丈6尺を選択)

解答

A（正丁）、B（次丁/老丁）、C（老女）、D（丁女）、E（中男/少丁）、F（小女）、G（小子）、H（小女）

【１】ABEGは各２段。CDFは各１段と120歩。

　2(段)×4＋(1段と120歩)×3＝8＋4＝12段

【２】租の総額（１束＝10把）

　租は田１段(公定収穫量72束)につき２束２把。

　(2束2把)×12(段)＝24束24把＝26束2把

【３】庸の総額、歳役の総日数

　歳役10日の代わりに出す庸(布)は、正丁が２丈６尺、次丁は正丁の２分の１。ABが対象。

　庸（布）：A(麻布2丈6尺)＋B(1丈3尺)＝3丈9尺。

　歳役ならば：正丁(A)10日、次丁(B)5日。

【４】調の総額(麻布2丈６尺)

　正丁・次丁(正丁の2分の1)・中男(正丁の4分の1)。ABEが対象。

　A(2丈6尺)＋B(1丈3尺)＋E(6尺5寸)＝4丈5尺5寸

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2021年7月2日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — 1件のコメント

算数いろいろ　素数ゼミ

素数ゼミ

　今年はニューヨークなどでセミが大発生してニュースになっています。このセミは17年ごとに大発生するので、周期ゼミ、特に素数ゼミと呼ばれています。アメリカ大陸の素数ゼミはもう1種類13年周期で発生するセミがいます。

　なぜこんな長い間地中に潜って、きっちり13年や17年ごとに地上に出てくるのか不思議ですね。この不思議について1996年、日本の吉村仁さんが論文を発表し、2005年に「素数ゼミの謎」という本を出版しています。
今年の「日経サイエンス8月号」でもニュース解説で取り上げられています。

　素数ゼミはアメリカ全土で一斉に羽化するわけではなく、特定の地域で周期的に羽化します。発生する年が同じものはブルードという単位で区別されます。今年はワシントンやシンシナティで現れるグループが羽化する年です。アメリカのブルードは17年ゼミでは13種類、13年ゼミでは3種類です。今年はニューヨークという都会で発生する年なので大ニュースとなっていますが、毎年どこかの地域で発生しています。

　吉村先生は、「なぜ17年もの間地中で過ごしているのか」という疑問について次のように説明されています。

①　セミの幼虫は天敵が少ない地中で成長するという道を選択したものの、地中の根の導管からはあまり養分を吸収することができないため、ゆっくり成長する。
＊導管とは地中の水とそれに溶けている養分を吸収する管なので、養分は多くない。(中学で学習します)

②　セミは2億年ほど前から地球上にいた。それから何度かの氷河時代を経験し絶滅の危機を迎えるが、氷河時代でも比較的気温が下がらなかった「レフュージア」という避難所のようないくつかの場所で生き延びることができた。そのため、交尾相手を見つけるために、一定の地域に定住するようになった

③　羽化の時期がちがってくると、多数のセミが羽化する年でないと交尾相手が見つからないため、多数派の年のセミだけが生き延びるようになった。このため、十分な大きさになって羽化することよりもきちんとした周期で一斉に羽化することになった。
＊一斉に孵化したり、群れを作ったりして天敵から自分が捕食される可能性を低くしようとすることを希釈効果といいます。

　以上が「長い年月をかけて成長する」「特定の地域で繁殖する」「周期的に羽化する」という疑問の答えとなっています。

　ではなぜ13年と17年なのかという疑問についてですが、もともと12年ゼミ、や18年ゼミなどいろいろな周期で羽化するセミがいたのだそうです。違う周期のセミの羽化が重なると、交雑が起きます。交雑すると、もとの周期とちがうセミが生まれます。12年ゼミと18年ゼミがが交雑して16年ゼミが生まれたとすると、羽化したときに交尾相手がいないので(その地域には特定の周期のセミしかいない)、交尾することなく死んでしまいます。つまり、異なる周期のセミとなるべく同時に羽化しないほうがいいわけです。

　そこで素数が登場。
　素数はほかの数との最小公倍数がとても大きな数になるので、同じ年に羽化する周期が大きくなります。
たとえば、15年周期と18年周期のセミが同時に羽化する周期は90年ですが、17年ゼミと18年ゼミでは306年となります。

　ではもっと大きな素数のほうがいいのではないかと思いますが、残念ながら土の中で過ごすのは18年が限度なのだそうです。

　こんなふうにアメリカ大陸のセミは氷河時代を生き延び、だんだんと素数ゼミだけが生き残ってきたということです。日本のセミは卵が産み付けられてから約1年かけて孵化し、土の中へもぐって木の根から栄養を取り込みながら数年で羽化します。
　日本のセミの幼虫期はツクツクホウシが１～２年アブラゼミ、ミンミンゼミ、ミイミイゼミが2～4年、クマゼミは2～5年です。孵化するまでの期間がまちまちなのは、栄養が十分ならすぐに成虫となり、栄養が少なければゆっくりと成長するため孵化するまでに時間がかかるからです。成虫になってからは1か月ほど生きるそうです。
　＊2019年には岡山県笠岡市の笠岡高校3年生植松蒼さんが独自の調査手法によりアブラゼミが最長32日間、ツクツクボウシが最長26日間、クマゼミが最長15日間生存したことを確認し発表して話題となりました。頑張ってるね、日本の高校生。

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2021年6月3日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — 1件のコメント

算数いろいろ　日本の数詞②

律令と口分田と計算

　大宝律令は701年に制定された日本の法律です。

　この「養老律令」には田令という法律があり、口分田についての決まりがあります。

　口分田といえば646年の「班田収授法(はんでんしゅうじゅほう)」を浮かべる人も多いと思いますが、本格的に成立したのは「飛鳥浄御原令」からです。口分田をきちんと民に配分するには、きちんとした戸籍が必要だったからです。6年に1度戸籍調査が行われ（今でいう国勢調査）、それによって班田収授が行われました。

　養老律令の田令では次のように決められています。

・良民男子は2段、良民女子は男の3分の2、5歳以下には支給しない。

・家人・私有の奴婢は良民男女の3分の1　＊奴は男の召使、婢は女の召使

・兵士に取られた男分は無税になるので計算に加えない

　さて、この「段」とはどれくらいの広さでしょう。現在では「反」と書いていますが、土地の面積の単位です。

　1歩(ぶ)（坪）＝3.305㎡＝畳2畳分の広さ

　1段(たん)（反）＝360歩＝1,188㎡　テニスコート6面分くらいの広さです。

　古代では米１石(こく)の収穫があげられる田の面積を1段としていました。米１石とはだいたい大人一人が１年間に食べるお米の量でした。1升ビン100本分です。重さでいうと150㎏です。

　話を戻しますが、良民は２年分のお米がとれる田を与えられ、私有の召使は半年分くらいのお米がとれる田を与えられたということになります。収穫は土地によって違ったでしょうし、天候にも左右されますが、古代の法律も、定義された算出方法を利用することで成り立っていたということです。

　「法律や政治」と「数」は関係ないように思えますが、国をまとめるためには、まず戸籍を調査し、きちんと計算したうえで運営しなければいけないわけで、日本では弥生時代の終わり頃から人、作物、土地などの数量の計算を行っていたということがよくわかりました。これもまた、中国の政治経済を学びながら行ったことです。

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2021年5月30日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — コメントを残す

算数いろいろ　日本の数詞①

数字の歴史

数を数えるときどんなふうに数えますか？

「いち、に、さん・・・」ですか？それとも「ひとつ、ふたつ、みっつ・・・」ですか？

「いち、に、さん・・・」は漢字の読みですから漢字が伝わった時から用いられています。

「ひとつ、ふたつ、みっつ・・・」はいつから使われているのでしょう。

実はよくわからないそうです。

現代数詞と古代数詞を並べてみました。

１	ひ	イチ
２	ふ	ニ
３	み	サン
４	よ	シ
５	いつ	ゴ
６	む	ロク
７	なな	シチ
８	や	ハチ
９	ここの	ク
１０	とお　(そ)	ジュウ
１１	とおあまりひとつ
２０	はた
３０	みそ
４０	しそ
５０	いそ
６０	むそ
７０	ななそ
８０	やそ
９０	ここのそ
１００	もも　(ほ)
１３０	ももあまりみそ
２００	ふたほ
５００	いほ
９７０	ここのほあまりななそ
１０００	ち
１００００	よろず

１０(とお)は３０以降は「そ」といいます。同じように１００(もも)は２００以降は「ほ」といいます。

日本の古代の数は十進法で１０より大きい数を表すことはあまりなかったようです。だから、１１は「とおあまりひとつ」（１０＋１）のようにあらわしたようです。

日本の数詞についてもう少し考えてみたいと思っています。

ところで皆さんは数を数えるとき「イチ、ニ、サン、シ、ゴ、ロク、シチ、ハチ、キュウ、ジュウ」と数えますか？

ではジュウからカウントダウンするときはどうですか？

「ジュウ、キュウ、ハチ、なな、ロク、ゴ、よん、サン、ニ、イチ」じゃないですか？

７と４は古代数詞が混ざっていますね。これは多分言いやすいからだと思いますが、このように、二種類の数詞を使っているのは、日本と韓国だけのようです。

もともとあった古代の数詞に中国から漢字が伝わったことで、両方をうまく使うようになったようです。日本人の柔軟性がうかがい知れます。

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2021年5月7日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — コメントを残す

算数いろいろ　完全数

　世の中には　いろいろ面白いことがたくさんあります。
　数字にもいろいろ面白い数字があります。

完全数（かんぜんすう）

　その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のこと。
　あのピタゴラスが名付けました。
　紀元前3世紀　ユークリッドは「2ⁿ − 1 が素数ならば、2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) は完全数である。」ことを証明しました。
　そのころ日本は弥生時代。

　６の約数は１、２、３、６の４つで、６自身を除く残りの３つを加えると
　１＋２＋３＝６
　しかも　１、２、３と続いてます。

　２８の約数は１、２、４、７、１４、２８の６つで、２８自身を除く５つを加えると
　１＋２＋４＋７＋１４＝２８となります。
　しかも　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８
　１~７まで足したら２８

　その次の完全数は４９６
　４９６の約数は１、２、４、８、１６、３１、６２、１２４、２４８、４９６
　１＋２＋４＋８＋１６＋３１＋６２＋１２４＋２４８＝４９６となります。
　しかも
　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋２６＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１＝４９６
　１～３１まで足したら４９６になります。

　「だから　何？」って突っ込まないでください。

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　聖書では
　ユダヤ教・キリスト教の聖典である旧約聖書『創世記』の冒頭には、以下のような天地の創造が描かれています。

　一日目　暗闇がある中、神は光を作り、昼と夜が出来た。
　二日目 神は空（天）をつくった。
　三日目 神は大地を作り、海が生まれ、地に植物をはえさせた。
　四日目 神は太陽と月と星をつくった。
　五日目 神は魚と鳥をつくった。
　六日目 神は獣と家畜をつくり、神に似せた人をつくった。
　七日目 神は休んだ。

　『何故神様は６日間で天地を創造したかというと、「６」という数字が最初の完全数だからだ。』と、聖アウグスティヌス（? – 604年）が言ったそうです。

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　「八日目」という映画があります。
　ジャコ・ヴァン・ドルマル監督が1996年に製作したフランス映画です。「トト・ザ・ヒーロー」の監督です。
　何が八日目なのかな？
　聖書では神様は6日で天地を創造し、７日目はお休みなった。その次の日、つまり8日目には何をお作りになったのか……。

　映画の「八日目」では
　冒頭、ダウン症のジョルジュが自分自身の出生を描写するところから始まります。
「この世の初めは無だった。あったのは音楽だけ。
　一日目、神さまは太陽をつくった。
　二日目、神さまは海をつくった。
　三日目、神さまはレコードをつくった。
　四日目、神さまはテレビをつくった。
　五日目、神さまは草をつくった。
　六日目、神さまは人間をつくった。
　日曜日、神さまは休息なさった。ちょうど七日目だった。
　そして八日目……」　ジョルジュは生まれた。

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　月の公転周期が２８日なのは「２８」という数字が二番目の完全数だからとも。
　正確に言うと　月の公転周期と自転周期はほぼ同じ２７．３日で、満ち欠けは２９．５日です。
　何故公転周期と満ち欠けの周期が違うかというと、地球がじっとしていないからです。この話は　また　おまけをつけて別の機会に。

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　ついでですが、阪神の江夏の背番号は２８です。
　中学生の頃、江夏の実家が近くて、江夏のお母さんをよく見かけました。
　背番号のことに気がついて一人で喜んでいたのですが、「博士の愛した数式」(小川洋子　著)に書かれていました。

　２０１３年２月現在、完全数は４８個発見されています。
　＊2020年9月現在51個になりました。
　＊2021年5月現在51個のままです。
　「偶数の完全数は無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決です。

　４８個目は　２の43112608乗×（２の43112609乗－１)（2008年）
　５１個目は　２の82589932乗×（２の82589933乗－１)
　そしてその５１個はすべて偶数です。
　「奇数の完全数が存在するか？」「偶数の完全数は無数に存在するか？」は未解決です。
　さらに一の位はすべて「６」か「８」です。

　「だから　何の役に立つの？」って言われそうですね。

☚ 算数いろいろ　なるべく少ない回数で明かりをつけるには？
　　算数いろいろ　日本の数詞① ☛

＊2020年9月24日改
＊2021年5月7日改

2021年5月4日2021年10月19日に投稿投稿者 masuyamasatoko — コメントを残す

算数いろいろ　なるべく少ない回数で明かりをつけるには？

　あるところに、ある部屋がありました。この部屋には電灯が１つありますが、スイッチは４つあります。

　４つのスイッチのうちどれか２つがON（入）、残りの２つがOFF（切）になっている時だけ、電灯に明かりがつく仕組みになっています。

　この部屋に入ろうとして真っ暗だったら、あなたはスイッチを探して明かりをつけますよね。

　でも、真っ暗ですから4つのスイッチのうちいくつのスイッチがONになっているかわかりません。

　なるべく少ない回数で明かりをつけるには、どうしたらいいか考えてみましょう。

　まず、今この部屋は真っ暗なのでスイッチは

　①　ON　ON　ON　ON

　②　ON　ON　ON　OFF

　③　ON　OFF　OFF　OFF

　④　OFF　OFF　OFF　OFF

のいずれかの状態です。

　ここで想像して欲しいのですが、あなたの財布の中の硬貨を机の上にばらまいて、表になっている硬貨の数を数えたとします。奇数枚か偶数枚かのどちらかですね。

　そこでその硬貨のうち２枚を裏表ひっくり返すという操作（A）を行って下さい。表になっている硬貨の枚数は、初めに偶数枚だったらやっぱり偶数枚、初めに奇数枚だったらやっぱり奇数枚です。

　じゃあ、硬貨のうち1枚だけ裏表をひっくり返すという操作（B）を行うと、表になっている硬貨の枚数は、初めに偶数枚だったら逆に奇数枚、初めに奇数枚だったら逆に偶数枚です。

　操作（A）は何回繰り返しても元と同じで、操作（B）は何回繰り返しても元と逆になります。

　そこで部屋の明かりをつけることを考えます。

　2個のスイッチのON／OFFを切り替えたとします。

　その時明かりがつけば初めの状態は①か②です。明かりがついたのでこれで終了です。

　2個のスイッチのON／OFFを切り替えても

　その時明かりがつかなければ、②か③の状態になっています。

　つまり②→②または③、　③→②または③となっているわけです。

　じゃあ、次に1つだけスイッチのON　OFFを切り替えて見ましょう。

　②→明かりがつく　または①

　③→明かりがつく　または④　となります。これで明かりがつけば終了です。

　これでも明かりがつかないときは、①か④の状態なので2個のスイッチのON／OFFを切り替えれば必ず明かりがつきます。

　まとめると、

2個のスイッチを同時に切り替える
↓
つかない
↓
1個のスイッチを切り替える
↓
つかない
↓
2個のスイッチを同時に切り替える