投稿者: masuyamasatoko

　律令時代からの算術の教科書「孫子算経」から２題　

　「？」

　今有孕婦行年二十九。難九月、未知所生。
　答曰、生男。
　術曰、置四十九、加難月、減行年。所餘、以天除一、地除二、人除三、四時除四、
　五行除五、六律除六、七星除七、八風除八、九州除九。其不盡者、竒則爲男、耦則爲女。

　今２９歳の妊婦がいて、妊娠して苦しむこと９か月になる。まだ生まれる子の性別は分からない。
　答　男が生まれる。
　解法
　４９を置き、苦しむ月９を加え、行年の２９を引く。
　その余り２９から、天の１を引き、地の２を引き、人の３を引き、四時の４を引き、五行の５を引き、六律の６を引き、七星の７を引き、八風の８を引き、九州(中国全域の古称)の９を引く。
　その余りが奇数ならば（生まれる子は）男とし、偶数ならば女とする。

　中国の数には男と女の区別がありました。奇数は男、偶数は女でした。
　(４９＋９－２９)－１－２－３－４－５－６－７＝１　ここまでしか引けません。余りが１になったので男ということのようです。

　男が生まれるか女が生まれるかを算術で占っています。
　古代、「数が使える者」＝「呪術・占星を行うもの」だったということでしょうか。

　次は高校数学の「剰余定理」です。

　今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。
　問、物幾何
　答曰、二十三。
　術曰、『三・三数之、剰二』、置一百四十。『五・五数之、剰三』、置六十三。『七・七数之、剰二』、置三十。并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。一百六以上、以一百五減之、即得。

　今物が有るが、その数はわからない。３つずつにして物を数えると、２余る。５で割ると、３余る。７で割ると、２余る。物はいくつあるか？
　答　二十三。
　解法
　３で割ると、２余る数として、１４０と置く。
　５で割ると、３余る数として、６３と置く。７で割ると、２余る数として、３０と置く。
　これらを足し合わせて、２３３を得る。これから２１０を引いて、答えを得る。
　一般に、３つずつにして物を数え、１余ると、その度に７０と置く。
　５で割った余りに２１をかける。
　７で割った余りに１５をかける。
　１０６以上ならば、１０５を引くことで、答えを得る。

　＊２１０を引くというのは　３×５×７＝１０５　２３３からこの１０５を１回引いて１２８、また１０５を引いて２３が最小の答えということでです。

　aは５でも ７でも割り切れるが、３で割ると２余る数、
　bは３でも７でも割り切れるが、５で割ると３余る数、
　cは３でも５でも割り切れるが、７で割ると２余る数とします。

　上の解法の１４０がaに当たり、６３がbに当たり、３０がcに当たります。

　aの場合、１４０を素因数分解すると５×７×２２です。５×７が入っているので、５でも７でも割り切れます。

　ここでM=a+b+c という数字を作ってみますと、Mを３で割ると２余り、５で割ると３余り、７で割ると２余ります。従って１４０＋６３＋３０＝２３３ は確かに条件を満たす数ですが、そのような数は１０５おきに無限に存在するということを述べているのが、中国式剰余定理です。

　ガウスが考案した合同式を使うと次のようになります。

　合同式とは１３７≡５≡２(mod 3)　１３７と５と２は３で割ると余りが同じになる。というふうに使います。

x ≡ ２ (mod ３)　←xは３で割ると２余る

x ≡ ３ (mod ５)　←xは５で割ると３余る

x ≡ ２ (mod ７)　←xは７で割ると２余る

を同時に満たす整数 x を求める。まず、1番目の式より x = ３m₁ + ２ (m₁ ∈ Z) と表せる。(Zは整数全体の集合)これを２番目の式に代入し

３m₁ +２ ≡ ３ (mod ５)

両辺から２ を引くと、

３m₁ ≡ １ (mod ５)

この式の両辺に ２ をかけると、（左辺）= ６m₁ = ５m₁ + m₁ ≡ m₁ (mod ５)

（右辺）= ２ (mod ５)なので

m₁ ≡ ２ (mod ５)　となる

　したがって、m₁ = 5m₂ + 2 (m₂ ∈ Z) と表せ、これにより x = １５m₂ + ８ を得る。更にこれを連立合同式の３番目の式に代入すると、

１５m₂ + ８ ≡ ２ (mod ７)となる。

この式の両辺から ８ を引き、左辺＝１５m₂ = １４m₂ + m₂ ≡ m₂ (mod ７)

右辺＝－６(mod ７)なので

m₂ ≡ −６ (mod ７).

更にこれは、−６ ≡ １ (mod ７) より

m₂ ≡ １ (mod ７)

と書き直せるので、m₂ = ７m₃ + １ (m₃ ∈ Z) と表せ、これにより x = １０５m₃ + ２３ を得る。すなわち、

x ≡ ２３ (mod １０５)となり２３が答えになります。

 

ユークリッドの互除法を使って解くこともできます。高校生はぜひ解いてみてください。

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　「養老律令」の「田令」という法律について書きました。この法律を実行するためには農作物の収穫量、戸籍、土地の面積などを記録し計算するために種々の算法が必要になります。

　6世紀以降はそれまでの不確かな時代と違って文献などで明らかになった史実が多く、例えば538年に百済の聖明王から仏典と仏像が送られたということが分かっています。これが仏教伝来の年とされていますが、6世紀以前の九州と朝鮮半島の交流は想像以上に盛んであったと思われるので、すでに仏教やその他の文化は日本に(特に豊前の国に)伝わっていたと考えられます。

　この正史に現れない文化や学問の流入が律令国家の礎を作っていたので、701年に大宝律令が発布できたのだと思います。

　この時代の役人には学問が必要です。ですから養老令では教育制度について決められました。その中に算術についても決められていました。

　このころの教科書は中国の漢の時代に作られた「九章算術」などの書物が使われました。弥生時代の終わりくらいには「数」とともに「算術」も大陸からの渡来人によって伝わっていたのではないでしょうか。

　九章算術の内容は次のようなものです。

　(1)方田：いろいろな形の田の面積の求め方。

　(2)粟ぞく米べい：穀物の計算。交換率の計算。

　(3)衰分さぶん：税金の配分計算

　(4)小広：平方根　立方根。二次式、三次式の解法。

　(5)商功：土木工事に関する問題。

　(6)均輸：人口統計、物価計算。比例　反比例。

　(7)盈えい不足ふそく：過不足算。(盈とはいっぱいになるという意味)

　(8)方程：多元連立方程式。

　(9)勾こう股こ：三角法、測量。三平方の定理から始まる。

　この内容を見ると、現在の小学生から高校生までの算数や数学の内容と変わらない内容を学んでいたようです。但し、法則などという学問的なことよりも実用的な内容です。

 実際の問題をいくつかあげてみます。

　「孫子算経」という書物からまず「鶴亀算」です。

鶴亀算(雉と兎)
今有雉兎同籠、上有三十五頭、下有九十四足、問雉兎各幾何
答曰　雉二十三　兎一十二
術曰 上置頭 下置足、半其足 以頭除足、以足

雉と兎が同じ籠の中にいる。頭の数は３５である。足の数は９４である。雉と兎はそれぞれ何匹いるか
答　雉２３　兎１２
解法　頭の数と足の数をそれぞれ算盤の上と下に置く
足の数を半分にし、その数から頭の数を引く(→兎の数）
頭の数から兎の数を引く(→雉の数）

最小公倍数
今有三女、長女五日一歸、中女四日一歸、少女三日一歸。
問、三女幾何日相會。
答曰、六十日。
術曰、置長女五日・中女四日・少女三日、於右方。各列一算於左方。維乘之、各得所到數。長女十二到、中女十五到、少女二十到。又各以歸　日乘到數、即得。

娘が３人いて仕事に出ている。長女は５日に１回帰り、中女は４日に１回帰り、少女は３日に１回帰る。
問　３人は何日ごとに会うか。
答　60日
解法　長女５日・中女４日・少女３日を右側に置く。各々の一算を左側に並べる。これらを維乗すれば、各々の到数、長女12到、中女15到、少女20到が得られる。また各々の帰る日を到数に掛ければ、答が得られる。

左	右
１	５
１	４
１	３

左	右
１×４×３	５
１×５×３	４
１×５×４	３

左	右
１２	５
１５	４
２０	３

　この問題は5，4，3が互いに素なのでこの方法で答えがでますが、そうでない場合は間違った答えが出ます。

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